平面向量共线的证明

给你提一个思路，启发你自己完成。

1，第一步，要思考，如果判断平面向量共线？判断依据有哪些，自己罗列出来。

2，第二步，根据本题的已知条件，看看用哪个条件判断合适。

3，第三步，根据前两步，尝试做具体证明。自己要大胆去尝试，逐步从已知推到出结论，你就成功了，不要怕做错，不要怕做不出来，要大胆地，一环套一环地去推到。锻炼自己的逻辑思维能力，你的数学能力通过一道题能提高不少。后，实在不会，再问。先憋一憋自己，弄一弄。实践出真知。

平面向量的共线表示

平面向量的共线为：向量m=（a,b）,向量n=（c,d）,两者共线时 ad=bc。

平面向量共线定理：共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得 b=λa。

如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解。

平面向量的解释：

当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在平面直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。（此向量的起点为原点）所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。

平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。

平面向量共线的坐标表示

面向量的基本定理：

如果 e1→ , e2→ 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a→ ,有且只有一对实数λ1,λ2,使 a→=λ1e1→+λ2e2→ 其中,不共线的向量 e1→ , e2→ 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。

2.平面向量的坐标运算：

(1)平面向量的坐标运算：

向量 a→=(x1,y1) , b→=(x2,y2) :

a→+b→=(x1+x2,y1+y2)

a→−b→=(x1−x2,y1−y2)

λa→=(λx1,λy1)

(2)向量的坐标求法：

已知A（ x1,y1 ）,B( x2,y2 )，则 AB→=(x2−x1,y2−y1)

|AB→|=(x1−x2)2+(y1−y2)2

3.平面向量共线的坐标表示：

设 ，a→=(x1,y1)，b→=(x2,y2) ，其中 b→≠0→ ，则 a→//b→⇔a→=λb→(λ∈R)⇔x1y2−x2y1=0 。

【总结反思】：

两平面向量共线的充要条件有两种形式:

①若a= (x1,y1) ,b= (x2,y2) ,则 a→//b→ 的充要条件是： x1y2−x2y1=0 ;

②已知 b→≠0→ ,则 a→//b→ 的充要条件是 a→=λb→(λ∈R) 。

平面向量共线定理

平面向量共线定理：如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b＝λa。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b＝λa。

对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣＝m∣a∣。那么当向量a与b同方向时，令λ＝m，有b＝λa，当向量a与b反方向时，令λ＝-m，有b＝λa。如果b＝0，那么λ＝0。

计算平面向量共线时的注意事项

1、向量的起点：计算向量是否共线需要明确向量的起点，通常选择起点相同的向量进行计算。

2、向量的模长：计算向量共线时需要比较向量的模长是否成比例，如果两个向量长度不同，需要将向量长度化为相同的单位。

3、向量的方向：向量共线的判定还需要考虑向量的方向，如果两个向量方向相反，则不共线；如果两个向量方向相同，则需进一步比较它们的模长是否成比例。

4、向量的坐标表示：在计算向量共线时，可以将向量表示成坐标形式，然后通过比较向量的坐标值是否成比例来判定向量是否共线。

5、向量的积：如果两个向量的叉积为零，则这两个向量共线。如果两个向量的叉积不为零，则这两个向量不共线。